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Liebe Honigbiene, lieber Nachtfalter,

hier sind meine (viel zu kurzen) Antworten auf die von Ihnen aufgeworfenen Fragen:

(1)
MATHEMATIK UND PHILOSOPHIE:
In meiner entsprechenden Vorlesung erörtere ich im Wesentlichen die Frage, warum Mathematik anwendbar ist. Diese Frage sehe ich als rein philosophische Frage an. Dementsprechend erläutere und beantworte ich sie vor dem Hintergrund großer Philosophen und ihrer Schulen. Dies sind Plato und Aristoteles, Leibniz und die großen Barockdenker, Kant und Schopenhauer, Hegel und der Deutsche Idealismus, Husserl und die Phänomenologie, Russell, Wittgenstein und neuere positivistische Erklärungsansätze. Meine Vorgehensweise meint insbesondere, dass ich je nach Philosoph und Schule unterschiedliche Antworten auf meine Ausgangsfrage erhalte.

In meinen persönlichen Forschungsansätzen zu Mathematik und Philosophie versuche ich, philosophischen (zurzeit eher theologischen) Begriffen eine präzise formale Struktur zu geben, um anschließend die Grenzen ihrer logischen Verträglichkeit streng formal zu diskutieren. Um wenigstens ein Beispiel zu geben, bitte ich Sie, die Begriffe „Göttliche Gerechtigkeit“ einerseits und „Göttliche Gnade“ andererseits zu betrachten. Dann bedeutet „Göttliche Gerechtigkeit“ in erster formaler Annäherung, dass Gott nicht seinen eigenen Entscheidungen widerspricht. Wählen wir zur Erörterung zwei beliebige Personen P1 und P2 aus. Wenn wir nun annehmen, dass Gott P1 in jeder Zeitperiode seines Lebens mindestens so wohlgefällig beurteilt wie P1, dann meint „Göttliche Gerechtigkeit“ in erster Annäherung, dass Gott P2 nicht gegenüber P1 bevorzugt. „Göttliche Gnade“ hingegen meint in erster Annäherung die Möglichkeit (u. U. im Rahmen gewisser Grenzen) der Wiedergutmachung von Lebenssituationen, die Gott nicht wohlgefällig waren. Bitte bedenken Sie, dass obige Erläuterungen den von mir entwickelten Formalismus bereits umgangssprachlich interpretieren. Ihre mögliche Aufregung über Begriffe wie „Gott“, „Gerechtigkeit“, „Gnade“ „Wohlgefälligkeit“, „Wiedergutmachung“ etc.“ wäre unnötig, da diese unscharfen Begriffe in meinem von mir entwickelten Formalismus selbstverständlich nicht vorkommen.
Ich kann inzwischen beweisen, dass die logische Verträglichkeit der von mir hinterfragten Begriffe nur unter zusätzlichen stringenten Zusatzforderungen gewährleistet ist. Darüber hinaus ist es wohl möglich, den von mir entwickelten Formalismus auch auf „Mathematische Nutzentheorie“ und „Rechtslehre“ anzuwenden.

Schließlich weise ich Sie noch darauf hin, dass es inzwischen eine Vielzahl von Forschungsansätzen zur Mathematischen Philosophie gibt. In Deutschland gibt es hierzu in München bereits einen ersten Lehrstuhl, der mit einem noch sehr jungen aber bereits recht populären Mathematischen Philosophen besetzt ist. Mein Kontakt zu ihm ist allerdings eher oberflächlich und leider bereits etwas getrübt. Schauen Sie einfach einmal ins Internet!

(2)
SCHMUTZIGE MATHEMATIK:
Der Begriff der „schmutzigen Mathematik“ stammt nicht von mir. Er geht auf meinen ersten Mathematischen Lehrer, den Geometer Professor Günter Ewald zurück und meint lediglich, dass unabhängig von Fragen der reinen oder der angewandten Mathematik, mathematische Deduktionen stets ein Höchstmaß an formal-logischer Strenge haben sollten. Argumentationen, die an außerlogische Plausibilitäten, wie die geometrische Anschauung, appellieren, haben nur einen didaktisch-erklärenden Charakter. Sie sind keine Mathematik. Sie sind mathematisch unsauber. Sie sind „schmutzig“.

(3)
ZUM BEGRIFF DER DEFINITION:
Eine strenge Definition, muss einen zu definierenden Begriff auf bereits streng definierte Begriffe zurückführen. Diese Zurückführung ist natürlich nicht grenzenlos möglich. Daher muss jede streng-formal-logische-Theorie von undefinierten Grundbegriffen und Grundrelationen ausgehen. In der auf der Mengenlehre aufbauenden Mathematik sind dies der undefinierte Grundbegriff der „Menge“ und die undefinierte zweistellige Relation „ist Element von“. Dann lässt sich zunächst streng definieren, was es heißt, dass eine Menge in einer anderen enthalten ist. Man definiert also, dass eine Menge A in einer Menge B enthalten ist, wenn jedes Element von A auch ein Element von B ist. Die Mengen A und B werden dann als gleich definiert, wenn sowohl A in B als auch B in A enthalten ist. So fortfahrend entwickelt sich das gesamte und stetig anwachsende Gesamtgebäude der mathematischen Begriffe. Hegels Definition ist in jedem strengeren Sinne keine Definition. Sie ist nicht einmal ein Plausibilitätsappell. Sie ist in ihrer (logischen) Unschärfe kaum überbietbar. Bereits Gauß, der vielleicht berühmteste Mathematiker aller Zeiten, standen bei Hegels „Definitionen“ die Haare zu Berge. Dies umso mehr, als dass Hegel sich mit einer philosophischen Arbeit habilitiert hatte, in der er mit geradezu hanebüchenen Argumenten, die einem dreifachen geistigen Salto mortale ohne Netz gleich kommen, „bewiesen“ hat, dass es nur sieben Planeten geben kann. Und das, obwohl Gauß bereits vorher durch Störungsrechnungen errechnet hatte und später durch Teleskope (Gauß war Direktor der Göttinger Sternwarte) erkundet hatte, dass es mehr als acht Planeten geben muss. Hegel ist meilenweit von jeder Strenge entfernt. Von Mathematik hat er weniger als „Nichts“ verstanden. Ich wundere mich immer wieder darüber, dass ich ihn dennoch in meinen Vorlesungen zu Rate ziehe.

Strenge Definitionen kann es also nur in einer konsequent durchformalisierten Theorie geben. Sonst gibt es nur Definitionen, die undefinierte Begriffe auf ebenso undefinierte, aber vielleicht inhaltlich vorstellbarere Begriffe zurückführen. Das verstehe ich unter einem Plausibilitätsappell. Deshalb auch kann man sich in der Philosophie, da können Sie, lieber Nachtfalter anführen, was immer Sie wollen, niemals in der notwendigen Schärfe erklären. Die verwendeten Begriffe lassen immer einen viel zu großen Interpretationsspielraum zu.

(4)
FORMALE BEGRIFFSANALYSE:
Ausgehend von einem einwertigen formalen Kontext, der aus einer Menge „O“ von Objekten, einer Menge „A“ von Attributen und einer Inzidenzrelation „I“ zwische O und A besteht., lässt sich eine Theorie der formalen einwertigen Begriffe entwickeln. Wenn zwischen einem Objekt „o“ und einem Attribut „a“ die Inzidenzrelation I besteht, so lässt sich dies dahingehend interpretieren, dass das Attribut a auf o zutrifft (o hat das Merkmal a). Ein Begriff ist dann ein Paar, (P,Q), wobei P eine Teilmenge von O ist und Q eine Teilmenge von A, das folgende Bedingungen erfüllt.

B1: Zwischen jedem Objekt p, das in P enthalten ist und jedem Attribut q, das in A enthalten ist, besteht die Inzidenzrelation pIq (p hat das Merkmal q).
B2: Wenn für ein Objekt r, das in O enthalten ist, und alle Attribute q, die in Q enthalten sind, die Inzidenz rIq zutrifft, dann ist r in P enthalten.
B3: Wenn für ein Attribut s, das in A enthalten ist, und alle Objekte p, die in P enthalten sind, die Inzidenz pIs zutrifft, dann ist s in Q enthalten.

Durch Übergang zu mehrwertigen Kontexten und mehrwertigen Begriffen, die auch noch unterschiedliche Merkmalsausprägungen berücksichtigen, lässt sich eine abstrakte mathematische Theorie der formalen Begriffe entwickeln. Diese Theorie, auf die ich es mir jetzt der Kürze halber verkneife einzugehen, ist scharf. Lesen Sie bitte im Internet unter formaler Begrffsanalyse und Ganter und Wille nach.

Herzliche Grüße

Gerhard Herden

Liebe Diskussionsteilnehmer,

natürlich freue ich mich über die von mir mit ausgelöste Diskussion. Waschbaer bitte ich aber, vollständig und unter genauer Angabe der von ihm benutzten Quelle zu zitieren. So, wie ich sein Zitat zurzeit lese, ist es für mich noch nicht diskutierbar.

Ich selbst bin kein Axiomatiker. Die Grundlagen der Mathematik sind nicht mein Forschungsgegenstand. Das Spannungsfeld zwischen Mathematik einerseits und Philosophie andererseits ist aber mein Hobby. Hier beschäftige ich mich allerdings vor allen Dingen mit der Frage, warum Mathematik anwendbar ist. Dass sie anwendbar ist, bezweifele ich nicht. Die Vorlesungen, die ich bisher zu diesem Thema angeboten habe, waren immer recht gut besucht.

Tatsächlich unterscheide ich nicht zwischen reiner und angewandter Mathematik. Nicht die angewandte Mathematik steht im Gegensatz zur reinen Mathematik sondern die „schmutzige“ Mathematik. Vielleicht ist es hilfreich, wenn ich Ihnen mitteile, welche beiden mathematischen Probleme mich zurzeit am stärksten beschäftigen.
Dies ist zum einen die Frage, ob für einen metrischen Raum lokale Kompaktheit notwendig und hinreichend dafür ist, dass alle auf ihm definierten abgeschlossenen Präordnungen auch funktional abgeschlossen sind. Zurzeit weiß ich nur, dass lokale Kompaktheit notwendig ist.
Zum anderen ist es die Frage, ob für einen beliebig vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsraum, die Menge der Bilder des auf ihm definierten Wahrscheinlichkeitsmaßes, wobei das Wahrscheinlichkeitsmaß alle Elemente der vorgegebenen Sigma-Algebra durchläuft, kompakt ist. Hier glaube ich, inzwischen einen Beweis für die positive Beantwortung dieser Frage zu besitzen.

Schließlich möchte ich noch etwas für die Mathematik Wesentliches erwähnen, was insbesondere Nachtfalter interessieren müsste. Gegenstand einer formalen Auffassung von Mathematik (dies ist nicht, wie ich betonen möchte, die einzige Auffassung von Mathematik, wohl aber die im vergangenen Jahrhundert erfolgreichste) sind formale Strukturen. Wie ich eine solche formale Struktur nenne ist absolut nebensächlich. Ob ich ein Verknüpfungsgebilde nun „Bewegungsgruppe“ nenne oder “Gulaschverein“ , ist völlig egal. Die Struktur ändert sich doch nicht, bloß weil ich ihren Namen ändere. Namen in der Mathematik sind mehr oder weniger Glückssache. Sie haben keinerlei inhaltliche Bedeutung. In der Algebra unterscheidet man Strukturen, wie Gruppen, Ringe, Körper, Moduln, Vektorräume etc., wohl aus einer auf Bourbaki zurückgehenden Tradition heraus, aber man hätte genauso gut von, Hauken, Messeln, Kripfen, Schlutzen oder Lemucken sprechen können. Die Mathematik wäre dennoch immer die gleiche geblieben. Von Hilbert ist in diesem Zusammenhang überliefert, dass er bei Erörterung seiner Axiomatisierung der Geometrie, gesagt haben soll, dass man zu Gerade auch jederzeit Tisch sagen könne und zu Punkt jederzeit Bierseidel. Die Feststellung, dass eine Punkt auf einer Geraden liegt, liest sich dann eben als: Ein Bierseidel steht auf einem Tisch. Ich weiß, dass Nichtmathematiker mit dieser Auffassung Schwierigkeiten haben. Dies liegt auch darin begründet, dass es außerhalb der Mathematik keine Definitionen gibt, die den Namen Definition verdient hätten. Definitionen außerhalb der Mathematik sind bestenfalls Plausibilitätsappelle, schlimmstenfalls Übersetzung in eine von Fremdwörtern durchdrungene Sprache, die zu ihrem eigenem Missbrach erfunden wurde.

Herzliche Grüße!

Gerhard Herden

Herr Herden, Sie enttäuschen mich, aber eigentlich hatte ich es geahnt! Sie schreiben:

„Eine die physikalische Welt beschreibende Mathematik benötigt das Postulat der Veränderung, der Bewegung nicht. Veränderung, Vergangenheit und Zukunft sind Vorurteile des Menschen. Auch der Formalismus der der Physik zu Grunde liegt benötigt dieses Vorurteil nicht."

Damit outen Sie sich unzweifelhaft selbst als Formalist, also jemand, der die Mathematik als ein riesiges Gewebe von Aussagen sieht, die erst durch die Fäden der Logik zu seiner Ganzheit gerät. Damit beschränken Sie den Sinn ihrer Arbeit allein in der Aufklärung der Grundstrukturen der Logik. Kann das sein? Demnach kommt es Ihnen weniger auf eine Entdeckung von etwas Neuem an, als vielmehr die Verbesserung von bereits Vorhandenem. Und dieses Vorhandene sollte dabei so weit als möglich ‚entkompliziert‘ werden. So weit so gut, nur dürfen sie nicht vergessen, dass der Formalismus in seiner ‚sterilen‘ Gestalt es verhindert, sich auf philosophische Fragen über ihren Sinn einzulassen. Und genau da liegt der Hase im Pfeffer. Vielmehr finde ich, dass man keine Unterscheidung zwischen reiner und angewandter Mathematik treffen sollte, in denen Folge Axiomatik, Strenge und seelenlose Eleganz erwünscht sind, hingegen Diagramme, Bespiele und Spezialfälle zugunsten des Abstrakten und Allgemeinen verabscheut werden. Hierzu mal ein Zitat, das ich in einschlägiger Literatur gefunden habe:

„… die axiomatische Methode hat anderseits gezeigt, dass die Wahrheit, aus denen man hoffte, Mathematik zu entwickeln, nur Spezialfälle allgemeiner Begriffe darstellten, deren Signifikanz nicht auf diese Bereiche begrenzt ist. Deshalb stellte es sich heraus, dass dieser Zusammenhang, deren harmonische innere Notwendigkeit, von der man einmal erwartete, das wir sie bewundern, lediglich ein glücklicher zufälliger Kontakt zwischen zwei Bereichen war, deren wirkliche Zusammenhänge viel tiefer liegen, als man a priori angenommen hatte.“

Deshalb auch Ihre, meiner Meinung nach, ungenügende Argumentation.

„Veränderung und Bewegung seien keine mathematischen Begriffe …“

Ich bin verblüfft!

Man spricht doch aber von der Bewegungsgruppe, der euklidischen Gruppe, von den Bewegungen in den Räumen und Ebenen und beschreibt dieselben formelreich, spricht von eigentlichen und uneigentlichen Bewegungen gar. Nach meinem einfachen Verständnis wird doch die Bewegung auf vielerlei Art dargestellt und nicht ausgeschlossen?

„Veränderung, Vergangenheit und Zukunft sind Vorurteile des Menschen.“

Dem Satz vermag ich nun erst recht nicht zu folgen. Das hieße ja alles zu leugnen, kurz wir bilden uns unser Dasein nur ein? Das kann man doch nicht im Ernst annehmen und darauf auch noch aufbauen?

Jetzt bin ich auf andere Meinungen gespannt. Denke ich zu einfach?

Liebe Diskussionsteilnehmer,

bevor ich mich zu „Helgas“ und „Winterschläfer“ äußere, möchte ich betonen, dass ich mich über die entstandene Diskussion aufrichtig freue.

(1)
Zu Veränderung und Bewegung:
Der Funktionsbegriff, der Begriff einer von x abhängigen Größe f(x) war der klassischen griechischen Mathematik unbekannt. Der Grund hierfür liegt auf der Hand. Wahrheit ist! Sie verändert sich nicht! Bewegung, Dynamik kann also nicht „wahr“ sein. Wahrheit ist „zeitlos“ „unveränderbar“ und „unabhängig von jeder menschlichen Betrachtungsweise“. Der Platonische Ideenhimmel ist ewig und absolut bewegungslos. Die sich auf dem Mengenbegriff gründende Mathematik geht von zwei undefinierten Grundbegriffen aus, nämlich zum einen vom Begriff der „Menge“ und zum anderen von der Relation „ist Element von“. Daraus resultiert, dass alle mathematischen Objekte Mengen sind. Auch eine Funktion ist eine Menge. Sie ist eine bestimmten Bedingungen genügende Teilmenge eines Kartesischen Produkts. Dies meint insbesondere, dass Veränderung und Bewegung keine mathematischen Begriffe sind. Auch eine Funktion ist, sie besitzt keine zeitliche Dynamik. Veränderung, Bewegung ist eine Interpretation von Mathematik, die dem Verständnis dient, die mit unseren Beobachtungen korrespondiert. Eine die physikalische Welt beschreibende Mathematik benötigt das Postulat der Veränderung, der Bewegung nicht. Veränderung, Vergangenheit und Zukunft sind Vorurteile des Menschen. Auch der Formalismus der der Physik zu Grunde liegt benötigt dieses Vorurteil nicht.

Bourbaki sagt deshalb, dass Euklid der Bourbaki der Antike gewesen sei.

(2)
Von Thomas Nagel ist mir fast gar nichts bekannt. Ich kenne ihn lediglich als Urheber der „Qualiadebatte“, die durch seinen Aufsatz „What is it like to be a bat“ ausgelöst worden sein soll. Das ist leider schon alles. Zum Begriff der Lösbarkeit eines (mathematischen) Problems kann ich allerdings das Folgende anmerken:
Nehmen wir einmal an, dass „das Nichts“ ein hinterfragbarer Gegenstand der Mathematik ist. Dann impliziert die unter (1) durchgeführte Betrachtung, dass „das Nichts“ eine Menge ist. Ich hatte schon früher erwähnt, dass die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist. Daraus folgt, dass die leere Menge auch Teilmenge des „Nichts“ ist. Dies meint, dass „das Nichts“ entweder mit der leeren Menge übereinstimmt oder über die Leerheit hinausgehende Elemente enthält. Letzteres widerspricht aber unserer Vorstellung (Absicht, Intention) von „Nichts“. Also muss (ist es notwendig) „das Nichts“ mit der leeren Menge gleich zu setzen. Dann aber bewegen wir uns wieder in den von mir, in meinen vorhergehenden Kommentaren, aufgezeichneten Bahnen.

Mathematische Probleme sind nicht immer „lösbar“ (besser wäre hier der Begriff „entscheidbar“). Das älteste und bekannteste unentscheidbare Problem, war das Problem, ob die übrigen Axiome Euklids bereits implizieren, dass zu jeder Geraden und jedem Punkt außerhalb dieser Geraden genau eine zur vorgegeben Gerade parallele Gerade existiert. Ausgangs des achtzehnten Jahrhunderts bzw. Eingangs des neunzehnten Jahrhunderts entdeckte man in sich widerspruchfreie Nicht-Euklidische Geometrien, die entweder gar keine oder aber beliebig viele Parallelen zur vorgegebenen Geraden postulieren. Weitere bekannte unentscheidbare Probleme sind Cantors Kontinuumshypothese und die berühme Souslin-Hypothese. Beides sind einfache Hypothesen über die reellen Zahlen. Bitte verzeihen Sie, wenn ich mir hier ihre Erörterung verkneife. Unentscheidbare Probleme gehörten immer zu den schwierigsten und berühmtesten Problemen der Mathematik.

Viele Grüße!

Gerhard Herden

in erster Linie um die Bewegung, weniger um Das Nichts oder ein Etwas.

Doch ist die wunderbare Diskussion komischerweise ins NICHTS gedriftet, was dennoch erbaulich sein kann.
Mathematische Sichtweisen sind immer ganz anders und schwierig zu begreifen, zumindest für mich.

Ich weiß nicht, ob ein "Vollblutmathematiker" auch andere Sichtweisen je akzteptieren könnte?

Dass eine leere Menge existiert, ist eine Annahme, die angeblich widerspruchsfrei sei, lese ich und bin nicht überzeugt. Nur soviel kann ich begreifen, dass man eine Annahme braucht, um Berechnungen zu beginnen; eine erdachte Basis.

Wie verhält es sich jedoch damit, um wieder zur Bewegung zu kommen, dem eigentlichen Ausgangspunkt?

Ein absolutes Gleichgewicht und eine absolute Ruhe gibt es nirgends; jede Ruhe jedes Gleichgewicht sind relativ, sind bestimmte Bewegungszustände der Materie. Betrachtet man z.B. die starren Körper so wird die Stabilität ihrer Struktur und äußeren Form durch eine bestimmte Wechselwirkung zwischen den Mikroteilchen bedingt aus denen sie besteht; jede Wechselwirkung die sich in Raum und Zeit entfaltet ist Bewegung und zu jeder beliebigen Bewegung gehört eine Wechselwirkung verschiedener Elemente der Materie.

Zur Bewegung als allgemeinstes Attribut der Materie: die Daseinsweise

In allgemeinster Form ist die Bewegung identisch mit Veränderung mit jedem beliebigen Übergang von einem Zustand in einen anderen. Die Bewegung ist das allgemeinste Attribut die Daseinsweise der Materie. In der Welt gibt es keine Bewegung ohne Materie und keine Materie ohne Bewegung.

Das NICHTS findet hier m. E. so gar keinen Zugang.
Und wird die immer und überall währende Bewegung in die Berechnungen einbezogen? Vermutlich muss man, um überhaupt etwas berechnen zu können auch wieder annehmen, dass eine Bewegung nicht stattfindet, oder sehe ich das falsch?

Liebe Diskussionsteilnehmer,

Bevor ich meinen letzten Kommentar etwas fortsetze, möchte ich kurz auf die Beiträge von „Honigbiene“ und „Waschbär“ eingehen.

Zu „Honigbiene“ stelle ich fest, dass auch die der Quantentheorie zu Grunde liegende Mathematik im gleichen Umfange widerspruchsfrei ist, wie Mathematik überhaupt. Scheinbare Widersprüche gibt es nur in der Interpretation der Mathematik. Man möge dabei an den Dualismus „Korpuskel – Welle“ denken. Es ist notwendig zwischen der Mathematik einerseits und ihrer Interpretation andererseits zu unterscheiden. Ich habe geglaubt, dass dies in meinem letzten Beitrag deutlich geworden ist.

Zu den Ausführungen „Waschbärs“, die mich alle gefreut haben, bemerke ich viel zu kurz Dreierlei:

(1)
In der Mathematik gibt es keine negativen Mengen. In der Kategorientheorie, der Theorie der Funktoren (Übersetzer), die mathematische Probleme von einer mathematischen Struktur in eine andere mathematische Struktur übersetzen, in der diese Probleme eher lösbar sind, unterscheidet man allerdings „kleine Mengen“, das sind die Elemente des zu Grunde liegenden Universums von „großen Mengen“ (Klassen), das sind die Teilmengen des gegebenen Universums.

(2)
Das Unternehmen „Bourbaki“ ist der Versuch eines Aufbaus der gesamten Mathematik auf dem Strukturbegriff. Ausgangspunkt sind hier so genannte „Mutterstrukturen“, nämlich „topologische Strukturen“, „algebraische Strukturen“ und „Ordnungsstrukturen“. Topologische Strukturen sind durch Mengen von Teilmengen einer zu Grunde liegenden Menge „X“ gegeben, die gegenüber fest vorgegebenen Mengenbildungsoperationen abgeschlossen sind. Algebraische Strukturen bestehen in ihrer einfachsten Form aus fest gewählten Teilmengen des dreifachen Kartesischen Produkts einer Grundmenge „G“ mit sich selber, die gegenüber algebraischen Operationen, die Zusatzeigenschaften wie „Assoziativität“, „Distributivität“ etc. erfüllen können, abgeschlossen sind. Ordnungsstrukturen sind Teilmengen des Kartesischen Produkts einer vorgegebenen Menge „P“ mit sich selber, von denen darüber hinaus Eigenschaften wie „Linearität“, „Dichtheit“, „Vollständigkeit“ etc. gefordert werden können. Jede Struktur ist nur bis auf „Isomorphie“ bekannt. Diese „Isomorphie“ wird durch die die Struktur erhaltenen Abbildungen beschrieben. Komplexere Strukturen entstehen durch Überlagerung oben aufgeführter Mutterstrukturen.

(3)
Eine (metaphysische) Reflexion des „Nichts“ ist nicht Gegenstand der Mathematik.

Zur „leeren Menge“:
Lassen Sie mich mit einem Zitat von Franz Kafka beginnen, das dem Romanfragment „Der Prozeß“ entnommen ist, und sich „Im Dom“ gegen Ende des Dialogs von Josef K. mit dem Gefängniskaplan ereignet: „Mit dieser Meinung stimme ich nicht überein“, sagte K. kopfschüttelnd, „denn wenn man sich ihr anschließt, muss man alles, was der Türhüter sagt, für wahr halten. Dass das aber nicht möglich ist, hast du ja selbst ausführlich begründet.“ „Nein“, sagte der Geistliche, „man muss nicht alles für wahr halten, man muss es nur für notwendig halten.“ „Notwendigkeit“ statt „Wahrheit“ ist für mich auch ein Schlüssel zum Verständnis moderner Mathematik. Notwendigkeit ist die Konsequenz einer Intention. In der elementaren Mengenlehre ist es Intention zu garantieren, dass der Mengenbegriff bezüglich elementaren Mengenbildungsoperationen abgeschlossen ist. So möchte man u. a. garantieren, dass für vorgegebene Mengen „M“ und „S“ auch ihr Durchschnitt, der aus allen Elementen (Dingen) besteht, die sowohl in „M“ als auch in „S“ liegen, eine Menge ist. Betrachten wir unter dem Gesichtspunkt dieser Intention zum einen die Menge L, deren Elemente die natürlichen Zahlen „1“ und „2“ sind und zum anderen die Menge K, deren Elemente die natürlichen Zahlen „5“ und „6“ sind, so ist der Durchschnitt dieser beiden Mengen leer. Es gibt keine natürliche Zahl, die in beiden Mengen enthalten ist. Da der Durchschnitt zweier Mengen aber wieder eine Menge sein soll, ist es notwendig die Existenz der leeren Menge zu postulieren.

Dem zitierten Dialog in Franz Kafkas Romanfragment „Der Prozeß“ liegt die Parabel „Vor dem Gesetz“ zu Grunde. Hier schließe ich mich der von Guattari und Deleuze nahe gelegten Interpretation an. Das Gesetz hat keinerlei „Transzendenz“. Es ist nicht Ausdruck eines externen Willens, wie z. B. des Willens zur „Gerechtigkeit“. Es ist bloße relationale Struktur, ein Rhizom, bloße „Machtstruktur“, die sich in ihren Urteilen, in Strafe oder Milde, Härte oder Gnade äußert. Es geht nur um den Erhalt dieser Struktur. Dazu ist die Einhaltung bestimmter Forderungen notwendig. Das ist schon alles! Auch die Mathematik hat keine Transzendenz. Sie ist (Hilbert, Bourbaki) lediglich formale Struktur, zu deren Erhalt, Fortschritt, gewisse Postulate notwendig sind. Metaphysik hat in der Mathematik nichts zu suchen. Wittgenstein würde sagen, dass man über das „Nichts“ schweigen muss.

Herzliche Grüße

Gerhard Herden

Interessante Argumente durchaus, nur sehe ich da ein wenig anders. Herr Herden führt an, ich zitiere: „… Denn eine Theorie, die es erlaubt einander wider-sprechende Aussagen zu deduzieren, kann nicht wahr sein.“ Das glaube ich aber nicht. Wie verhält es sich dann mit den Erkenntnissen der Quantenphysik, wo es nicht ‚entweder –oder‘, sondern oftmals ‚entwendet und oder‘ heißt, also beide Alternativen gleichzeitig gelten??? Weiterhin postulieren Sie: „Widerspruchsfreiheit ist sicherlich ein wichtiges Wahrheitsattribut“. Daraus müsste folgen, dass sämtliche Widersprüche, die es nun mal in der Welt gibt, nicht wahr sind. Im Gegenteil, vielmehr denke ich, dass die Welt an sich ein einziger Widerspruch ist, wenn man so will, finden wir sie überall und sei es nur in ganz einfachen Gegensätzen, die aber ihrerseits durch ihre Korrelation sozusagen, erst einen Sinn ergeben. Ich glaube fast, hier irren Sie, Herr Herden.

Liebe Diskussionsteilnehmer,

Sie haben inzwischen so viele Fragen aufgeworfen, dass es mir völlig unmöglich ist, diese in einem lesbaren Kommentar zu beantworten. Man möge es mir also nachsehen, wenn ich bei meinen Antworten eine gewisse Reihenfolge einhalte und deshalb zunächst nur sehr kurz auf die von „Nachtfalter“ aufgeworfenen Punkte eingehe, um anschließend noch eine Anmerkung zum Begriff der Widerspruchsfreiheit in der formalen Mathematik hinzuzufügen. Mit letzterer Anmerkung hoffe ich, gegenüber „Helgas“ verständlicher zu werden.

Ad 1:
Die Eliminierung des Wahrheitsbegriffs aus der Mathematik bedeutet zum einen die Abkehr der Mathematik vom Platonismus und zum anderen die Hinwendung der Mathematik zu Attributen des Wahrheitsbegriffs, die wirklich überprüfbar sind. Widerspruchsfreiheit ist sicherlich ein wichtiges Wahrheitsattribut. Denn eine Theorie, die es erlaubt einander wider-sprechende Aussagen zu deduzieren, kann nicht wahr sein. Da Widerspruchsfreiheit lediglich ein Wahrheitsattribut ist, erlaubt eine Theorie, die nur in sich widerspruchsfrei sein muss (wesentlich) mehr Deduktionsmöglichkeiten als eine metaphysische Theorie, die sich an der Existenz, der wahren Welt der Platonischen Ideen orientiert.

Ad 2:
Tatsächlich waren bis zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts alle Mathematiker Platoniker. Teilweise sind sie es vielleicht heute noch. Kurt Gödel selbst bezeichnete, wenn ich mich recht erinnere, seine Auffassung als „platonism with litttle „p““. Der Platonismus war also immanenter Bestandteil der Mathematik. Die Befreiung der Mathematik vom Platonismus eine ungeheuere Öffnung, eine Revolution, die in den letzten hundert Jahren mehr tiefsinnige mathematische Sätze hervorbrachte als in all den Jahrtausenden zuvor. Mathematik wurde zum Anarchismus in Reinform. Wir können froh sein, dass die Würdenträger der Kirche nichts von Mathematik verstehen. Die Exkommunizierung wäre uns gewiss. Wenn Gott nicht existiert, dann ist aller Wille unser. Das sagen die Mathematiker und so handeln sie auch. Nicht das, was im Platonischen Ideenhimmel vorhanden ist, existiert wirklich, sondern all dass, was widerspruchsfrei in einer formalen Theorie definierbar ist.

Ad 3:
Vielleicht kennen Sie den genialen Mathematiker John von Neumann. Er war bis zu Albert Einsteins Tod sein Kollege am „Institute for Advanced Studies“ in Princeton. Von ihm gibt es eine rekursive (induktive) Rekonstruktion der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, …., n,…, die die „0“ mit der leeren Menge gleichsetzt, um dann, unter der Voraussetzung, dass die natürliche Zahl „n“ bereits als Menge definiert ist, die natürliche Zahl „n+1“ (den Nachfolger von „n“) als diejenige Menge zu definieren, die entsteht, wenn man die Menge „n“ mit derjenigen Menge vereinigt, deren einziges Element die Menge „n“ ist. Die Menge der natürlichen Zahlen ist also die kleinste, die leere Menge enthaltene, Nachfolgermenge. Addition und Multiplikation werden dann rekursiv auf der Menge der natürlichen Zahlen definiert. Subtraktion und Division sind keine eigenständigen Rechenoperationen. Sie sind die zur Addition bzw. Multiplikation gehörenden Umkehroperationen. Das Kant’sche synthetische Urteil a priori „7+5 = 12“ lässt sich dann, wie jedes Rechengesetz, beweisen. Es ist nicht mehr länger ein dem Zeitbegriff innewohnendes Gesetz. Gut! Das möge zunächst als Andeutung genügen. Ich möchte Sie nicht zu sehr verwirren.

Ad 4:
Die Aussagenlogik, der Kalkül „tautologischer“ Aussagen ist widerspruchsfrei und in dem Sinne vollständig, dass sich für jede, eine „Aussage repräsentierende Zeichenreihe“, entscheiden lässt, ob sie ein formales Theorem des Aussagenkalküls ist oder nicht. Dies bewies bereits David Hilbert. Aber der Aussagenkalkül ist noch meilenweit von der Mathematik entfernt. Auch die Prädikatenlogik erster Stufe (hier treten bereits „Quantoren“ auf) ist widerspruchsfrei und vollständig. Der erste entsprechende Beweis geht auf Kurt Gödel zurück. Aber die Prädikatenlogik erster Stufe reicht nicht einmal dazu aus, zum Kernstück der Mathematik, der „elementaren Arithmetik“ vorzudringen. Jede formale Theorie jedoch, die das „Induktionsprinzip“ einschließt und mit ihm die „elementare Arithmetik“ ist prinzipiell unvollständig, d. h., dass sie auch niemals wird vervollständigt werden können. Darüber hinaus ist ihre Widerspruchsfreiheit mit den von Hilbert zugelassenen „finiten“ Methoden (sie sollten der Kritik der „Intuitionisten“ standhalten) prinzipiell unbeweisbar. Der Biograf schreibt dazu: „Hilbert became somewhat angry“ als er von diesen berühmten auf Kurt Gödel zurückgehende Resultaten erfuhr. Allerdings gelang es Gerd Gentzen später mit sehr eleganten transfiniten auf der „Wohlordnung“ der Ordinalzahlen basierenden Methoden, die Hilbert ursprünglich nicht zugelassen hatte, die Widerspruchsfreiheit der „elementaren Arithmetik“ zu beweisen.

Eine formale (mathematische) Theorie besteht aus Zeichenreihen und Regeln, die es erlauben, gegebene Zeichenreihen zu neuen Zeichenreihen zusammenzusetzen. Eine solche formale Theorie enthält ein Zeichen, das wir umgangssprachlich als Negationszeichen interpretieren können, und hier mit „\“ abgekürzt sei. Eine mögliche schwache Form von „Widerspruchsfreiheit“ einer formalen Theorie (es gibt Widerspruchsfreiheitsbegriffe unterschiedlicher Stärke) meint dann, dass die der Theorie zu Grunde liegenden Regeln es nicht erlauben dürfen, dass mit einer Zeichenreihe „Z“ auch „\Z“ ableitbar ist. Zeichenreihen, als aufs Papier geschriebene Symbole haben keinen Inhalt. Sie wissen nichts von dem, was wir in sie hineininterpretieren, welche Vorstellungen wir möglicherweise mit ihnen verbinden. Sie sind bloße Zeichen. Ihr Gefühl von Absurdität, liebe „Helgas“ entsteht nur dadurch, dass Sie mit dem Zeichen für die leere Menge den Begriff, Ihre Vorstellung einer leeren Menge verbinden, eine Vorstellung, die auf für Sie „Ungereimtes“ hinweist. Wenn ich aber „0“ als Symbol hinschreibe und fordere „0“ ist eine Menge, die in jeder möglichen Menge enthalten ist („enthalten sein“ ist bereits eine Interpretation), dann weiß das Symbol „0“ rein gar nichts von Ihren subjektiven Vorstellungen, die Sie möglicherweise mit ihm verbinden. Eine formale Theorie lässt keine Metaphysik zu. Metaphysik hat absolut nichts in ihr zu suchen.

Das möge vorerst genügen.

Ich freue mich wieder bei Euch zu sein.

Viele herzliche Grüße

Gerhard Herden

"Andererseits jedoch ist die leere Menge, diejenige Menge also, die nichts enthält, das Fundament der Mengenlehre, auf dem sich mit Hilfe geeigneter Mengenbildungsaxiome das jede Unendlichkeit überschreitende Universum der Mengen aufbauen lässt. Das Fundament der Mengenlehre ist also das Axiom, dass die nichts enthaltende - also leere - Menge existiert."

Die LEERE MENGE

Für mich klingt das absurd.
Vermutlich kommt die Mathematik ohne diverse Annahmen als Ausgang weiterer Überlegungen nicht aus.
Sind die Überlegungen, die auf einer absurden, sich selbst widersprechenden Basis beruhen, überhaupt noch richtig? Damit wäre man wieder bei der "Wahrheit".
Nun, ich bin kein Mathematiker und denke einfach, vermutlich zu einfach.

Ich bin davon überzeugt, dass es DAS NICHTS nicht gibt.

Ich freue mich, dass Gerhard wieder da ist und dass sich hier wieder eine inhaltsschwere Diskussion zu entwickeln scheint.