Mengenlehre

Mengenlehre

1. Einführung

Die Mengenlehre besitzt für die Mathematik eine grundsätzliche und somit fundamentale Bedeutung, weil sie es ermöglicht den gesamten Bereich der Mathematik unter einem einheitlichen Gesichtspunkt zu betrachten.

In allen Teilgebieten der Mathematik geht es um Mengen von Dingen ( meistens gedachter Art und Weise), zwischen denen gewisse Beziehungen bestehen:

In der Algebra geht es zum Beispiel um Mengen von Zahlen, in der Geometrie geht es um Punkte, Geraden und Flächen oder um gerichtete Größen wie Vektoren.

Es lassen sich aber auch Mengen vo Figuren und Abbildungen (Geometrie) bilden, von Funktionen (Analysis) oder Ereignissen (Wahrscheinlichkeitstheorie) betrachten. 

Der Mathematiker Georg Cantor (1845 – 1918) gilt als der Begründer der Mengenlehre. Der Ausbau dieser Theorie wurde besonders durch die Widerspruchsbeweise des Philosophen und Mathematikers Bertrand Russell vorangetrieben.

Gebraucht man in der Umgangssprache das Wort "Menge", so denkt man an eine Gesamtheit von endlich vielen (mindestens aber zwei) Dingen), die hinsichtlich einer bestimmten Eigenschaft als gleichartig aufgefasst werden können. In der Mengenlehre ist eine genauere Festlegung des Begriffs Menge erforderlich. Der Hallenser Mathematiker Georg Cantor (1845-1918), der die Mengenlehre im letzten Drittel des 19. Jahrhunderts begründete, gab folgende Definition:

Definition : Menge

Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente der Menge.

Beispiele:

Die Gesamtheit der auf einem Parkplatz abgestellten Fahrzeuge ist eine Menge. Befinden sich 21 Fahrzeuge dort, so hat die Menge 21 Elemente. Handelt es sich bei den Fahrzeugen z.B. um 1 Omnibus, 4 LKW, 9 PKW und 7 Motorräder, so kann man auch die Gesamtheit der Motorräder für sich betrachten. Diese Menge hat 7 Elemente. Sie ist eine Teilmenge oder Untermenge der Menge aller Fahrzeuge.

Die Gesamtheit der in einem Hörsaal anwesenden Studenten ist eine Menge. Sind 20 Studenten anwesend, so hat die Menge 20 Elemente. Ist kein Student anwesend, so enthält die Menge kein Element, sie ist leer.

Die Menge aller natürlichen Zahlen  = {1,2,3,...} ist eine unendliche Menge, sie hat unendlich viele Elemente.

Die Sandkörnchen am Weserstrand dagegen bilden eine Menge mit

Impressum

Verlag: BookRix GmbH & Co. KG

Tag der Veröffentlichung: 29.08.2020
ISBN: 978-3-7487-5558-6

Alle Rechte vorbehalten

Widmung:
Dieses Buch widme ich meinen Enkeln Enno, Yannik. Thommy und Emil