1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit

(A) Ohne Wahrscheinlichkeitstheorie kein statistisches Verständnis: Insbesondere gelingt nicht das Begreifen des Unterschieds zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit !

(B) Die Regeln der Wahrscheinlichkeitstheorie sind leicht zu lernen. Das Verständnis kann dabei dennoch völlig fehlen ! Lieber umgekehrt !

Statistische Schlüsse sind "Wahrscheinlichkeitsaussagen". Keine deterministische, aber stochastische und dadurch genau so strenge "Kausalität".

"Experiment": S1

Schluß von der Stichprobe auf die Population: n Þ ∞

hn,k = nk / n (k = 1,...,K)

limn Þ ∞ hn,k = pk (k = 1,...,K)

Beispiel: Münzwurf, Würfel, Kartenspiele:

(Beispiel: Bestehen der Statistik-Klausur bei organisatorisch konstanten Randbedingungen)

Beispiel: Reduktion der WiM-Stellen und Veränderung und Vergrößerung der Gruppengröße

Zur Definition der Wahrscheinlichkeit:

Induktive Definition der Wahrscheinlichkeit nicht möglich, weil man von dem Anfang einer (unendlichen) Folge nicht auf den Rest schließen kann.

Beispiel: 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1.........................1 ? .....2?

Nr

Formel

mengentheoretische Beschreibung

ereignistheoretische Beschreibung

1

Ω

Universalmenge

Merkmals (Ergebnis)raum

2

{x}

einelementige Menge

Elementarereignis

3

A Ì Ω

Teilmenge d. Universalmenge

Ereignis (-klasse)

4

Ac

Komplement von A

A tritt nicht ein

5

Leere Menge

das unmögliche Ereignis

6

A ∩ B

Durchschnitt von A und B

A und B treten zugleich ein

7

A U  B

Vereinigung von A und B

A oder B (od. beide) treten ein

8

A = Ø

ist die leere Menge

A tritt unmöglich ein

9

A = Ω

A ist die Universalmenge

A tritt sicher ein

10

A ∩ B = Ø

A geschnitten mit B ist leer

A und B schließen einander aus

Definition : σ-Algebra = A ist nicht leeres System von Mengen und es ist mit A auch Ac  C  A, ferner mit A,B  C  A auch A ^  B  v  A  (σ-: sogar Ai Î A )

Beispiel: Kleinste σ-Algebra: (Ω,Ø); nächst größere ist mit Ø C A C Ω (Ω,A, A c , Ø); dann mit Ø C  A,B  C  Ω: (Ø,A, B, Ac , Bc ,A ∩ B, A  \ B, A ^  Bc , Ac ^  B, Ac  ^   Bc, ...,Ω);

Satz  1: Mit A,B Î C  A folgt: A  ^  B  C  A

Beweis: A  ^  B = (Ac ∩ Bc)c

Eine Wahrscheinlichkeit P ("Probability") ist auf jeden Fall eine Mengenfunktion, d.h. eine Abbildung von A auf den R1.

Forderungen an p:

• 1) P(A) ≥ 0, für alle A Î A
• 2) P(Ω) = 1
• 3) P(A U B) = P(A) + P(B), falls A ∩ B = Ø.

Gegenbeispiel:

• Relative Häufigkeit (die auch alle 3 Bedingungen erfüllt), ist keine Funktion:
• da (bezogen auf die unendliche Population) nicht eindeutig, folglich keine Mengenfunktion, also auch keine Wahrscheinlichkeit.
• Ihr Grenzwert ist nur dann eine Wahrscheinlichkeit, falls er existiert !

Beispiel: Roulette bei demselben Croupier, bei verschiedenen Croupiers (früher)

Definition : Laplacedefintion P: = |A| / |Ω| ist eine Wahrscheinlichkeit, denn

1. |A| ≥ 0,
2. P (Ω) = |Ω| / |Ω| = 1,
3. Subadditivität auch erfüllt, denn: A ^  B = Ø, P(A ^ B) = |A ^ B| / |Ω| = ( |A| + |B| ) / |Ω| = P(A) +P(B).

Damit Wahrscheinlichkeit allgemein definierbar, muß vorher der Merkmalsraum festgelegt sein, ferner die zugehörige Algebra, d.h. die Menge der erlaubten Mengen ("Ereignisse"), denen eine Wahrscheinlichkeit "zugeordnet werden kann".

Letzteres ist bei der Laplace-Definition trivial, jedoch ist diese Definition nur brauchbar bei einfachen molekularen Modellen, z.B. aber nicht bei schiefen Würfeln oder gar stetigen Verteilungen.

• Positives Beispiel: für Laplace-Modell: Würfel, normale Münze, Urne (rot,grün,blau).
• Negatives Beispiel: Nichtkorrekter Würfel mit P("6") = irrational.
• Negatives Beispiel: Doppelwürfelsumme.

Negatives Beispiel: Mathematische Begabung + Lernmenge --> Statistikerfolg ) Bedeutung der Faktoren: Lernmenge + Mathematische Begabung (- o +) auf den Erfolg in Statistik

Beispiel: Wahrscheinlichkeitsverteilung

Definition Mengenfunktion = Funktion von einer Algebra in den IR1.

Definition : Gegeben {Ω , A(Ω), P Mengenfunktion}

P heißt Wahrscheinlichkeit, wenn es die Forderungen (1)-(3) erfüllt:

1. P(A) ≥ 0, für alle A Î A (Nichtnegativität)
2. P(Ω) = 1 (Normierung)
3. P(A U B) = P(A) + P(B), falls A ∩ B = Ø. (Additivität)

Es hat lange gebraucht, bis bewiesen werden konnte, daß die drei notwendigen Bedingungen für eine Wahrscheinlichkeit zugleich auch hinreichend sind !

Satz  2: Wichtige Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit P.

Beweis: