Inhalt

Inhaltsverzeichnis

„Das Buch der Physik: Band 2“

TEIL ZWEI: DIE REVOLUTIONEN DES ANFANGS DES 20. JAHRHUNDERTS

QUANTENPHYSIK

SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE

TEIL DREI: PHYSIK DES MIKROKOSM

PHYSIK DER MATERIE

CHEMISCHE PHYSIK

Quantenfeldtheorie

KERNPHYSIK

PHYSIK DER TEILCHEN UND WECHSELWIRKUNGEN

TEIL VIER: PHYSIK DES MAKROKOSMUS

THEORIE DER ALLGEMEINEN RELATIVITÄT

ASTRONOMIE

ASTROPHYSIK

KOSMOLOGIE

PHYSIK SCHWARZER LÖCHER

TEIL FÜNF: DIE PROBLEME VON HEUTE UND DIE PHYSIK VON MORGEN

VEREINIGUNGSVERSUCHE

DIE THEORIE VON ALLEM

„Das Buch der Physik: Band 2“

„Das Buch der Physik: Band 2“

SIMONE MALACRIDA

In diesem Buch wird die große Geschichte der physikalischen Entdeckungen nachgezeichnet, beginnend mit der wissenschaftlichen Revolution von Galileo und Newton bis zur Physik von heute und der nahen Zukunft.

Das Verständnis der Physik wird sowohl aus theoretischer Sicht angegangen, indem die Definitionen jedes einzelnen Bereichs und die jeder Theorie zugrunde liegenden Annahmen erläutert werden, als auch auf praktischer Ebene, indem mehr als 350 Übungen zu physikalischen Problemen aller Art gelöst werden.

Die Herangehensweise an die Physik wird durch fortschreitendes Wissen gegeben, wobei die verschiedenen Kapitel in einer logischen Reihenfolge dargestellt werden, so dass der Leser einen kontinuierlichen Weg im Studium dieser Wissenschaft aufbauen kann.

Das gesamte Buch ist in fünf verschiedene Abschnitte unterteilt: die klassische Physik, die wissenschaftlichen Revolutionen, die im frühen zwanzigsten Jahrhundert stattfanden, die Physik des Mikrokosmos, die Physik des Makrokosmos und schließlich aktuelle Probleme, die den Ausgangspunkt für die Physik der Zukunft bilden .

Das Papier stellt sich als umfassendes Werk der Physik dar, das keinen Aspekt der vielen Facetten auslässt, die es annehmen kann.

ANALYTISCHER INDEX

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ZWEITER TEIL : DIE REVOLUTIONEN DES ANFANGS DES 20. JAHRHUNDERTS

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13 – QUANTENPHYSIK

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14 – SPEZIELLE RELAVITÄTSTHEORIE

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DRITTER TEIL : PHYSIK DES MIKROKOSMUS

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15 – PHYSIK DER MATERIE

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16 – CHEMISCHE PHYSIK

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17 – QUANTENFELDTHEORIE

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18 – KERNPHYSIK

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19 – PHYSIK DER TEILCHEN UND WECHSELWIRKUNGEN

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VIERTER TEIL : PHYSIK DES MAKROKOSMUS

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20 – T HEORIE DER ALLGEMEINEN RELATIVITÄT

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21 - ASTRON O M Y

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22 - ASTROPHYSIK

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23 - COS M O LOG Y

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24 – PHYSIK SCHWARZER LÖCHER

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TEIL FÜNF : DIE PROBLEME VON HEUTE UND DIE PHYSIK VON MORGEN

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25 – VEREINIGUNGSVERSUCHE

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26 – DIE THEORIE VON ALLEM

TEIL ZWEI: DIE REVOLUTIONEN DES ANFANGS DES 20. JAHRHUNDERTS

TEIL ZWEI: DIE REVOLUTIONEN DES ANFANGS DES 20. JAHRHUNDERTS

QUANTENPHYSIK

QUANTENPHYSIK

Die erste "revolutionäre" Theorie, die wir erklären werden, betrifft die Quantenphysik, die untrennbar mit dem Mikrokosmos verbunden sein wird.

Diese Theorie wird viele der Phänomene erklären, die die Krise der klassischen Physik ausgelöst hatten, und neue wissenschaftliche Horizonte eröffnen.

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Plancksche Lösung für das Schwarzkörperspektrum

Einer der Hauptwidersprüche, die zur Überwindung der klassischen Physik führten, war die Erklärung des Schwarzkörperspektrums.

Nach dem bekannten Schema konnte die Energie jeden möglichen Wert annehmen und daher folgte die statistische Verteilung der Energie dem bekannten Boltzmann-Gesetz, abgeleitet aus der klassischen Thermodynamik:

Dies führte zu einer Verteilung des Schwarzkörperspektrums, die als Rayleigh-Jeans-Formel bekannt war:

in voller Übereinstimmung mit den experimentellen Daten für den Infrarotbereich, aber nicht für den Ultraviolettbereich, wie bereits im vorherigen Absatz erwähnt.

Im Jahr 1900 stellte Planck die Hypothese auf, dass Energie keinen möglichen kontinuierlichen Wert annehmen könne, sondern nur einige diskrete Daten aus dem folgenden Ausdruck:

wobei n eine positive ganze Zahl ist und eine ha-Konstante als Plancksche Konstante definiert ist.

Dabei wird die statistische Verteilung der Energie (gemittelt über die diskreten Summen und nicht über die kontinuierlichen Integrale) zu:

und die spektrale Verteilung des schwarzen Körpers nahm in voller Übereinstimmung mit den experimentellen Daten auch im ultravioletten Bereich eine neue Form an.

Die von Planck geplante logische Passage war von außerordentlicher Bedeutung.

Zum ersten Mal wurde zugegeben, dass Energie oder irgendeine physikalische Einheit eine diskrete Größe ist und keinen Wert annehmen kann.

Planck führte das Konzept der diskreten Energie ein, um die Theorie mit den experimentellen Daten zum Schwarzkörperspektrum abzugleichen, und nannte diese zulässigen Energiewerte "Quanten". Von da an nahm die resultierende Theorie den Begriff Quantenphysik an und das Adjektiv Quantum wurde als Qualifizierer für jeden Teil dieser Theorie verwendet.

Das Spektrum des schwarzen Körpers wurde also in dieser neuen Vision erklärt, alle anderen Probleme jedoch nicht, und außerdem gab es keine übergreifende Theorie, die all diese empirischen Ergebnisse lieferte.

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Einsteins Lösung für den photoelektrischen Effekt

1905 (bemerkenswerterweise im selben Jahr wie die Veröffentlichung der speziellen Relativitätstheorie) schlug Einstein eine Lösung vor, um die Phänomenologie des photoelektrischen Effekts zu erklären.

Einstein akzeptierte Plancks Hypothese und wandte sie auf den photoelektrischen Effekt an.

Die Energie einer elektromagnetischen Welle hängt nur von der Frequenz ab.

Der durch die Experimente von Hertz beschriebene photoelektrische Effekt fand eine einfache Erklärung, wenn man die Hypothese einer nur von der Frequenz der elektromagnetischen Welle abhängigen quantisierten Energie akzeptierte.

Deshalb gab es unterhalb einer bestimmten Frequenz keine Emission von Elektronen, da nicht genügend Energie vorhanden war, um diese Emission zu "stimulieren", und dies erklärte auch, warum die Energie der emittierten Elektronen proportional zur Frequenz war.

Einstein nannte die „Quanten“ des Lichts und allgemein der elektromagnetischen Wellen Photonen.

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Das Bohr-Modell

Plancks Hypothese hatte irgendwie die beiden Ungereimtheiten in Bezug auf das Schwarzkörperspektrum und den photoelektrischen Effekt erklärt.

Die Frage nach der Stabilität der Materie und nach einer allgemeinen Erklärung dafür, warum Energie eine diskrete und nicht kontinuierliche Größe ist, blieb offen.

1913 schlug Bohr ein erstes Atommodell vor, das den Regeln der Quantenphysik folgte, aber Postulate einführen musste, um die Stabilität der Materie zu erklären.

Inspiriert von Rutherfords Experimenten verstand er, dass sich das negativ geladene Elektron um einen positiv geladenen Atomkern dreht, und führte einige Variationen des vorherigen Atommodells ein.

Zunächst quantisierte er auch den Drehimpuls eines um den Kern umlaufenden Elektrons, indem er eine direkte Abhängigkeit mit der Planckschen Konstante einführte, wie er es Jahre zuvor für die Energie tat (die Quantisierungsregeln wurden später von Sommerfeld 1916 erweitert und vervollständigt).

Dabei begannen wir zu verstehen, dass die Quantisierung ein viel weiter verbreiteter Prozess war, als Plancks Beziehung implizierte.

Später postulierte er, dass sich ein Elektron auf vordefinierten (quantisierten) Bahnen um den Kern dreht, ohne elektromagnetische Strahlung auszusenden (alles, um die Stabilität des Atoms zu erklären).

Die Emission elektromagnetischer Strahlung erfolgt nur, wenn das Elektron von einer Umlaufbahn zur anderen "springt" und die emittierte (oder absorbierte) Energie sowohl die Planck-Beziehung als auch das Prinzip der Energieerhaltung respektiert.

Die Radien der stabilen Bahnen werden ebenfalls quantisiert und wie folgt mit der Hauptquantenzahl und der Ordnungszahl in Beziehung gesetzt:

Der zweite Bruchteil ist genau der Radius des Grundniveaus von Wasserstoff, wobei das einfachste Atom von allen durch ein einzelnes Elektron und ein einzelnes Proton gebildet wird.

Die Energie dieser stabilen Bahnen wurde durch gegeben

was für n=1 genau der Energie des ersten gebundenen Zustands von Wasserstoff entspricht.

Bohrs Atom stellt den ersten systematischen Versuch dar, die neue Quantentheorie mit dem in Einklang zu bringen, was in anderen Disziplinen wie dem Elektromagnetismus und der Chemie experimentell gefunden wurde, aber es hatte den Fehler, bestimmte Annahmen postulieren zu müssen, um die Stabilität der Materie zu erklären, und war nicht in Übereinstimmung mit dem, was für andere Atome als das von Wasserstoff gemessen wurde.

Auch der Dualismus zwischen Welle und Teilchen, der seit der Veröffentlichung der Maxwellschen Gleichungen so offensichtlich geworden war, wurde nicht erklärt.

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Neue Entdeckungen: Compton-Effekt

Ein weiterer Schritt in Richtung einer neuen allgemeinen Theorie gelang 1920 mit der Erklärung des Compton-Effekts.

Betrachtet man die von den Elektronen gestreuten Röntgenstrahlen und kombiniert man die Plancksche Energiegleichung mit der Einsteinschen Energie für die spezielle Relativitätstheorie, erklärt sich der experimentelle Nachweis, dass die Wellenlängenvariation vom Einfallswinkel nach folgender Formel abhängt:

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De Broglies Lösung für den Welle-Teilchen-Dualismus

Allein der Vergleich zwischen zwei Energiegleichungen, der der Quantenphysik und der speziellen Relativitätstheorie, führte zum letzten Stück, das notwendig ist, um die zuvor erwähnten Probleme zu überwinden.

1924 setzte De Broglie einen jener Meilensteine, die bis dahin als getrennt betrachtete Konzepte vollständig untergraben sollten.

Ausgehend von diesen vier Gleichungen (die erste ist die Energiegleichung nach der speziellen Relativitätstheorie, die zweite die Plancksche Beziehung, die dritte die Definition der Lichtgeschwindigkeit nach den Maxwellschen Gleichungen, die vierte die Definition des Impulses):

erhält man mit einfachen mathematischen Schritten folgende Beziehung:

Diese Beziehung verbindet eine Wellengröße wie die Wellenlänge mit einer materiellen Größe wie dem Impuls, indem sie sagt, dass ihr Produkt gleich einer Konstanten ist.

De Broglie vermutete, dass diese Beziehung die grundlegende Grundlage für die Überwindung des ewigen Dualismus zwischen der Wellennatur und der korpuskulären Natur physikalischer Einheiten war, indem er einfach feststellte, dass jedes von ihnen gleichzeitig sowohl Welle als auch Teilchen ist, und diesen Dualismus nicht so darstellt ein Problem, aber als neue Grenze.

Durch diese Beziehung wurde die Wellenlänge des Elektrons berechnet, das somit nicht nur ein Teilchen, sondern auch eine Welle war.

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Young und die beiden Risse

Der englische Wissenschaftler Young hatte bereits 1801 Lichtexperimente durchgeführt, um seine Wellennatur zu demonstrieren.

Die Wissenschaftler verstanden, wie diese experimentelle Apparatur nützlich sein könnte, um den Welle-Teilchen-Dualismus zu bestätigen oder nicht.

Nehmen Sie eine schwache Lichtquelle und eine Fotoplatte.

Legen Sie dazwischen eine undurchsichtige Barriere mit zwei parallelen Schlitzen.

Baue einen ähnlichen Versuchsaufbau, bei dem die schwache Lichtquelle durch eine schwache Elektronenquelle ersetzt wird.

Wenn die Quellen jeweils ein Photon (oder ein Elektron) emittieren, wird die Platte mit einzelnen Lichtpunkten beeindruckt, sodass sich die Photonen und Elektronen wie Teilchen verhalten.

Erhöht man hingegen die Anzahl der emittierten Photonen (bzw. Elektronen), zeigt die Platte die für die Korpuskularnatur typischen klassischen Interferenzstreifen.

Außerdem, und das ist der schockierendste Aspekt, verhalten sich Photonen und Elektronen zwar wie Teilchen, wenn sie einzeln emittiert werden, aber es ist nicht möglich festzustellen, durch welchen der beiden Spalte sie gegangen sind.

Die Doppelnatur ist intrinsisch vorhanden, dh es ist nicht möglich, ein einziges Verhalten von diesem Dualismus zu trennen.

Ohne sein Wissen (die fotografischen Platten des 19. Jahrhunderts waren tatsächlich unempfindlich gegenüber schwachen Lichtstrahlen) hatte Young ein Experiment entwickelt, das gut 125 Jahre früher den Welle-Teilchen-Dualismus hätte auflösen können!

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Quantenmechanik nach Schrödinger

All diese experimentellen und theoretischen Beweise, die über zwanzig Jahre aufeinander folgten, bedurften einer allgemeinen Erklärung, die sie alle umfasste, so wie im 19. Jahrhundert die Maxwellschen Gleichungen die Erfahrungen von Volta, Ampére, Oersted und Faraday einschlossen.

Es war der Bericht von De Broglie, der den Quantenargumenten den letzten Anstoß gab.

1926 zeigte Schrödinger mit vier verschiedenen Artikeln, dass die Wellenmechanik von De Broglie die Bohrschen Quantisierungsregeln erfüllte, und stellte nach der Parallelität zwischen Optik und Mechanik (dh zwischen Wellen- und Korpuskularnatur) eine neue Gleichung auf, die zur Grundlage der Quantenmechanik wurde.

Die Newtonsche Mechanik wurde zu einer Annäherung an die Quantenmechanik für „große“ Energien und für viel größere räumliche Skalen als die durch De Broglies Beziehung festgelegte Wellenlänge.

Die neue Gleichung leitet sich auf natürliche Weise aus der Newtonschen Mechanik ab, indem einfach die De-Broglie-Beziehung und die folgenden Korrespondenzregeln angewendet werden (betrachten wir zumindest für den Moment den eindimensionalen Fall):

Wo ist es:

Anstelle kontinuierlicher Größen wie E und p wurden diskrete Operatoren eingeführt, in voller Übereinstimmung mit dem Quantisierungsverfahren.

Die Schrödinger-Gleichung nimmt also diese allgemeine Form an (denken Sie bei mehrdimensionalen Fällen nur an Abhängigkeiten auch von den y- und z-Koordinaten):

Diese Gleichung enthüllt mehrere Aspekte, die fast alle neuen Eigenschaften der Quantenmechanik erklären.

Die Lösungen dieser Gleichung sind "Wellenfunktionen", ein Name, den Schrödinger selbst gegeben hat, um an die Grundlagen der Wellenmechanik zu erinnern.

1) Zunächst taucht in dieser Gleichung ein generisches Potential V(x) auf.

Je nach Form dieses Potentials (Stufe, Loch, harmonischer Oszillator usw.) gibt es unterschiedliche Lösungen für diese Gleichung.

2) Zweitens gibt es starke Ähnlichkeiten zwischen dieser Gleichung und dem, was aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet wird, unter entsprechenden Umschreibungen. Damit lassen sich einfache Korrespondenzen herstellen und eine Art paralleles Zahlenrechnen aufbauen , immer unter Berücksichtigung der großen Grundunterschiede (kontinuierliche Größen einerseits, diskrete Größen andererseits).

3) Die dritte Beobachtung betrifft den Zeitfaktor, der ein reiner Phasenfaktor ist. Diese Beobachtung, zusammen mit der Tatsache, dass die zweite Seite der Gleichung selbst eine komplexe Zahl ist, macht einen großen Unterschied zu Maxwells Gleichungen aus.

In dem Fall, wo die Wellenfunktionen in dieser Form ausgedrückt werden können

Schrödingers Gleichung nimmt eine vereinfachte Form an, die sich auf stationäre Zustände bezieht:

das ist eine Gleichung mit Eigenwerten, gegeben durch Energie, während u(x) die Eigenfunktionen sind.

Die Schrödingergleichung ist also eine Energiegleichung.

Energie kann nur vordefinierte Werte annehmen, mit anderen Worten, diese Gleichung sorgt für die Quantisierung von Energie und dies ist ein erstes Ergebnis dafür.

Wir werden gleich sehen, wie die Vorhersagen mit den experimentellen Überprüfungen übereinstimmen.

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Die probabilistische Sicht

Bevor Sie fortfahren, sollte eine notwendige Klarstellung vorgenommen werden.

Auf die Frage „was stellt die Wellenfunktion dar?“ kann die Quantenmechanik nur diese Antwort „die Lösung der Schrödinger-Gleichung“ geben.

Anders ausgedrückt, es gibt keine Entsprechung zwischen der Wellenfunktion und einer „beobachtbaren“ physikalischen Größe.

Die Wellenfunktion an sich stellt nichts dar.

Dies wird eines der philosophischen Probleme sein, die wir am Ende dieses Kapitels erklären werden.

Die wirkliche Neuheit der Quantenmechanik war jedoch die Tatsache, dass der quadratische Modul der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeit darstellt, die Welle/Teilchen an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit zu finden.

Die Entwicklung von einer deterministischen zu einer probabilistischen Mechanik wirft ein neues Licht auf die Physik selbst.

Die Atomphysik, die Grundlage aller anderen Bereiche, da das Atom die konstituierende Grundlage der Materie ist, sah voraus, dass es nicht möglich ist, mit Sicherheit anzugeben, wo sich ein bestimmtes Teilchen befindet, sondern nur seine Wahrscheinlichkeit festzulegen.

Die probabilistische Interpretation der Schrödinger-Gleichung wurde nur ein Jahr nach 1926 von Born gegeben.

Mit dieser Klärung und durch das Studium der Schrödinger-Gleichungen bei Variation der Potentiale V(x) wurde das Wissen der klassischen Physik erweitert und erreichte neue wissenschaftliche Horizonte.

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Die Neuerungen gegenüber der klassischen Mechanik

Ein erster Punkt war die Vorhersage, dass sich die Wellenfunktion auch auf Bereiche erstrecken könnte, die die klassische Physik stattdessen als „verboten“ ansah.

Beim Potentialsprung beispielsweise sagt die Quantenmechanik voraus, dass die Welle/Teilchen den Sprung auch dann überwinden kann, wenn die zugehörige Energie geringer ist, was für die klassische Physik unmöglich ist.

Dieser als Tunneleffekt bekannte Effekt liegt einem Großteil der Funktionsweise moderner Computer wie Computer und Mobiltelefone zugrunde. Tatsächlich war die Quantenphysik der Vorläufer vieler Gebiete wie Festkörperphysik, Materie, Halbleiter und Nanotechnologie.

Ebenso gibt es innerhalb des klassisch erlaubten Bereichs bestimmte Punkte, an denen die Wahrscheinlichkeit, die Welle/das Teilchen zu finden, null ist.

Ein zweiter Punkt ist der Nachweis, dass die Energie unterhalb einiger Schwellen, beispielsweise des oben erwähnten Potentialsprungs, nur diskrete Werte annehmen kann, während sie darüber zu einem "kontinuierlichen Spektrum" wird.

Ein dritter Punkt ist durch die Nullpunktsenergie gegeben.

Aus Schrödingers Gleichung können wir sehen, dass die niedrigste Energielösung niemals Null ist, sondern ein Vielfaches von ½ hf, was genau als Nullpunktsenergie definiert ist, dh das minimal mögliche. Die Planck-Gleichung muss also in diesem Sinne modifiziert werden (mit n ganzzahlig positiv):

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Die Lösungen

Betrachtet man die Schrödingergleichung in sphärischen Koordinaten und führt die Lösung für den radialen Teil durch, so findet man als Lösungen die durch die bekannten Laguerre-Polynome gegebenen Funktionen u(r), von denen die erste die folgende ist:

wobei sich der Index 10 auf die beiden diskreten Zahlen bezieht, die zur Identifizierung dieses Polynoms verwendet werden.

Der erste Index ist genau n, die bereits von Bohr eingeführte Hauptquantenzahl, während der zweite Index l die "Form" (kugelförmig, wenn sie gleich Null ist, wie in diesem Beispiel) erklärt und nur für positive ganze Zahlen kleiner als variieren kann NEIN.

Im Wesentlichen ist das erste Laguerre-Polynom wie oben ausgedrückt der radiale Teil der Wellenfunktion bezogen auf den Grundzustand des Wasserstoffatoms.

Wenn man es in einem Wahrscheinlichkeitsschlüssel liest, ist das Quadratmodul dieser Funktion die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Wasserstoffatom zu finden.

Es ist deutlich zu sehen, dass die Wahrscheinlichkeit in der Nähe des Atomkerns (r=0) Null ist, während die Wahrscheinlichkeit, das Elektron irgendwo zu finden, gleich dem sicheren Ereignis ist, da für ein geeignetes A die folgende Beziehung gilt:

Die Quantenmechanik erklärt also, warum das Elektron nicht unter der Anziehungskraft von Lorentz auf den Atomkern "fällt" und sagt auch voraus, dass es keine festen Bahnen gibt, da der klassische Determinismus zugunsten der Quantenwahrscheinlichkeit nicht anwendbar ist.

Der Name, der diesen Bereichen der Wahrscheinlichkeit gegeben wird, das Elektron zu finden, ist der von Orbital.

Die Quantenzahl l gibt daher die Form der Orbitale an, basierend auf der Wahrscheinlichkeit, das Elektron in diesem bestimmten Bereich zu finden oder nicht.

Für den ersten gebundenen Zustand von Wasserstoff lässt sich leicht nachweisen, dass die maximale Wahrscheinlichkeit, das Elektron zu finden, gerade beim Bohr-Radius auftritt und dass bei diesem Radius die Bindungsenergie im stabilen Zustand, also am geringsten ist Prinzip.

Im Gegensatz zur Wellenmechanik erklärt die Schrödinger-Gleichung sehr gut selbst die komplexesten Atome und nicht nur Wasserstoff.

Mit der Definition der Orbitale geht auch ein einfaches theoretisches Verständnis der Eigenschaften des Periodensystems und der Oktettregel einher.

Die durch die Quantenmechanik beschriebene Atomphysik umfasst einen großen Teil der Experimente der physikalischen Chemie und Physik der Materie, insbesondere Atom- und Molekülspektren, insbesondere nach dem, was wir gleich sagen werden.

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Operatorentwicklung und Unsicherheitsprinzipien

Die Quantenmechanik kann auch in Operatorform ausgedrückt werden, indem man sich an die Hamilton-Beziehungen der klassischen Mechanik erinnert und sie auf den Quantenfall anwendet.

Die Newtonschen Gesetze könnten so elegant geschrieben werden:

mit p und q kontinuierlichen Observablen (Impuls und Position), die auch als kanonische Operatoren bezeichnet werden, während H die (kontinuierliche) Hamilton-Funktion war, die definiert ist als:

Eine grundlegende Errungenschaft der klassischen Mechanik war die Kommutierung der kanonischen Operatoren; mit anderen Worten qp-pq=0.

Unter Anwendung der erwähnten Korrespondenzregeln für Energie und Impuls wurden in der Quantenmechanik die kanonischen Operatoren den diskreten Operatoren wie folgt zugeordnet:

Während die Hamilton-Funktion die Form eines diskreten Operators namens Hamilton-Operator annahm:

Mit dieser Symbolik wird die allgemeine Schrödinger-Gleichung und die für stationäre Zustände einfach wie folgt:

In der Quantenmechanik kommutieren die kanonischen Operatoren nicht. Tatsächlich gibt es diese Beziehung:

Was eine direkte Folge (und auch Erklärung) der Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation ist, die nur wenige Jahre nach 1926 ausgesprochen wurde.

Insbesondere stellte Heisenberg fest, dass jede physikalische Größe, die nicht mit einer anderen pendelt, der folgenden Ungleichung unterliegt:

wobei [A,B] der als AB-BA definierte Kommutator ist, während es sich um einen generischen diskreten Operator handelt und die Symbolik die der von Dirac verwendeten Klammer ist (die wir in Kürze in dieser Beschreibung wiederfinden werden).

Bei kanonischen Operatoren reduziert sich diese Ungleichung auf die bekannte Formulierung der Unschärferelation:

Diese Ungleichung besagt, dass es nicht möglich ist, Ort und Geschwindigkeit eines bestimmten Teilchens absolut genau und gleichzeitig zu bestimmen.

Wenn wir die Position eines Elektrons durch ein Experiment mit geeigneten Messgeräten wissen wollten, könnten wir nichts über seine Geschwindigkeit sagen und umgekehrt.

Diese absolut gültige Behauptung verliert ihre Bedeutung in der makroskopischen Welt, wenn die Entfernungen viel größer als die Wellenlänge sind, aber sie ist von grundlegender Bedeutung in der atomaren und nuklearen Welt.

Darüber hinaus wurden zwei neue Konzepte in der Physik eingeführt.

Die erste ist die des Indeterminismus.

Die Quantenmechanik hat nicht nur die Physik von einer absoluten Vision zu einer probabilistischen Vision gebracht, sondern es wurde eine weitere „Störung“ eingeführt, die durch die Unbestimmtheit der physikalischen Variablen gegeben ist.

Dies führte auch auf philosophischer Ebene zu Störeffekten, wie die Relativitätstheorie zuvor absolute Begriffe wie Raum und Zeit gerade relativiert hatte.

Der eigentliche Schwerpunkt lag jedoch im Messkonzept selbst und in der Rolle des Beobachters.

Es war klar, dass das Experiment selbst den Zustand einer physikalischen Größe (im Folgenden „Beobachtbar“ genannt) ändern würde und dass nichts über den Wert dieser Observablen vor und nach dem Experiment gesagt werden konnte.

So entstand eine sehr offensichtliche Diskrepanz zwischen der physikalischen Realität und der beobachteten Realität, und die Messung selbst war eine Möglichkeit, die Observablen zu "enthüllen".

Dieses physikalische und philosophische Problem der Quantenmechanik bleibt noch offen.

Zwei weitere Observable, die nicht pendeln, sind Energie und Zeit, für die:

Es gibt daher eine Grenze für den minimalen Wert des Energie-"Abstands", und dieses Minimum fällt genau mit der Nullpunktsenergie zusammen.

Ebenso sind unterhalb dieser Quantengrenze keine Zeitpulse mehr wahrnehmbar, was beispielsweise in Lasern zu finden ist.

Zur Erklärung der Atomspektren musste auf die Quantisierung des Drehimpulses zurückgegriffen werden, indem eine neue Quantenzahl eingeführt wurde, die ganzzahlige Werte von –la +l annehmen kann.

Darüber hinaus sah die Quantenmechanik eine neue, an den Gesamtimpuls gekoppelte Größe vor, die den Namen Spin erhielt, der in keiner Weise mit dem klassischen Drehimpuls vergleichbar war.

Der Spin erklärte viele praktische Erkenntnisse, einschließlich der Oktettregel und der Besetzung elektronischer Niveaus, und erklärte auch weitere Unterschiede in Atomspektren.

Mit dem Spin war die Einführung der letzten Quantenzahl verbunden.

Die Quantisierungsregeln der Operator-Quantenmechanik lauten daher mit den relativen Eigenwerten, Eigenfunktionen und Quantenzahlen und verallgemeinern die Sommerfeldschen Regeln:

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Übungen auf Hochschulniveau

Übung 1

Betrachten Sie die Staatenfamilie:

Und der eindimensionale Hamiltonoperator:

Zeigen Sie, dass am klassischen Limit die Zeitentwicklung des Zustands die klassische Hamilton-Gleichung löst:

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Die klassische Grenze gilt für:

Wenn wir die Ableitung in Bezug auf die kanonische Koordinate nehmen, haben wir:

Erinnern wir uns an die Schrödinger-Gleichung:

Gleichsetzung der realen und imaginären Terme:

Der Übergang zum klassischen Limes bedeutet, den ersten Term der ersten Gleichung zu vernachlässigen, daher:

Daraus ergibt sich die erste Gleichung für q:

Das ist die These.

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Übung 2

Bei gegebenem Potential:

Zeigen Sie, dass der zugehörige Hamiltonoperator mindestens einen gebundenen Zustand zulässt.

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Nehmen wir als Testfunktion:

Deshalb:

Die kinetische Energie ist:

Der Mittelwert des Potenzials ist:

Ans Limit gehen:

Aber nach dem Satz von Lebesgue:

Deshalb:

Was mit dem Eingeständnis der Existenz mindestens eines gebundenen Zustands zusammenfällt.

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Übung 3

Beweisen Sie, dass die diskreten Energieniveaus eines Teilchens, das einem summierbaren Potential V(x) ausgesetzt ist, das im Unendlichen gegen Null geht, erfüllt:

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Da das Potential im Unendlichen gegen Null geht, haben gebundene Zustände negative Energien.

Deshalb:

Solche Funktionen sind stetig und gehen im Unendlichen gegen Null.

Nach dem Satz von Weierstraß wird es ein Maximum geben.

An diesem Punkt haben Sie:

Aus denen:

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Übung 4

Bestimmen Sie bei einem gegebenen Potentialtopf V(x) für x>0 und V(x) unendlich für x<0 die Bohr-Sommerfeld-Quantisierung für Energie im semiklassischen Regime.

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Wir definieren:

Da U gleich ist, lautet die Bohr-Sommerfeld-Bedingung:

Deshalb:

Für V müssen wir die ungeraden Eigenzustände nehmen, dh n=2m+1

Und die Quantisierungsbedingung ist:

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Übung 5

Suchen Sie bei einem Potenzialprofil, das als minus unendlich gegen Null und gegen unendlich als plus unendlich zu einem konstanten Wert ungleich Null tendiert, nach der Energieabhängigkeit des Penetrationskoeffizienten.

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Für:

Im Fall von minus unendlich gilt:

Und dann:

Bei plus unendlich:

Die ein- und ausgehenden Ströme betragen:

Und der Penetrationskoeffizient ist:

Wenn stattdessen:

Der Penetrationskoeffizient wird gegen Null gehen.

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Übung 6

Finden Sie die eindimensionale Schrödinger-Gleichung, die Teilchen beschreibt, die mit dem Impuls p>0 aus minus Unendlich kommen und von einer unendlichen Potentialbarriere reflektiert werden, die sich mit v<0 bewegt.

Wir haben:

Dessen Randbedingung ist:

Die allgemeine Lösung lautet:

Mit:

Die Randbedingung schreibt vor:

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Übung 7

Halten:

Gleichzeitiger Eigenzustand von:

Und

Berechnen Sie den Mittelwert und die mittlere Schwankung der Projektion des Drehimpulses auf die n-Richtung des betrachteten Zustands, der mit der z-Achse einen Winkel alpha bildet.

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Es geht ums Rechnen:

Jedoch:

Für i=1 oder i=2 kann man schreiben:

Der Durchschnittswert ist also:

Der quadratische Term ist gegeben durch:

Das können wir feststellen:

Darüber hinaus:

Einsetzend haben wir:

Schließlich wird die Fluktuation sein:

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Übung 8

Suchen Sie für ein Teilchen mit Spin ½ nach den Funktionen:

Beschreiben der Zustände des Teilchens mit einer gegebenen Spinprojektion auf den x-, y-, z-Achsen.

Wir haben:

Wo die Eigenvektoren im zweiten Mitglied vorhanden sind.

Deshalb:

Wo die Sigmas die Pauli-Matrizen sind.

Für die x-Achse:

Deshalb:

Und normalisieren:

Nach dem gleichen Verfahren haben wir für die y-Achse:

Abschließend für die z-Achse:

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Übung 9

Bestimmen Sie das Energiespektrum für zwei identische Bosonen mit Spin s=0, die nach dem Potential wechselwirken:

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Der Hamiltonoperator des Systems ist:

Wenn wir setzen:

Der Hamiltonoperator der Relativbewegung lautet:

Und dann:

Die Eigenwerte sind:

denen die Eigenfunktionen entsprechen:

Da diese Funktion symmetrisch sein muss, muss diese Summe gerade sein:

Außerdem ist das Energiespektrum:

Mit N gerade nicht negative ganze Zahl.

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Übung 10

Angesichts des beschriebenen Systems von:

Beweise das:

Und dass ein stationärer Zustand hat:

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Aus der Definition von Ort und Impuls haben wir:

Der Mittelwert für jede Impulskomponente ist:

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Übung 11

Beweisen Sie, dass für ein Quantensystem, wenn F und G Bewegungskonstanten sind, dies auch [F,G] ist.

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Wenn F und G Bewegungskonstanten sind, gilt:

Deshalb:

Übung 12

Ein Teilchen der Masse m bewegt sich eindimensional in Gegenwart eines Potentials:

Berechnen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung der Orts- und Impulsvariablen in den Energieeigenzuständen.

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Für einen Potentialtopf sind die Eigenfunktionen und Eigenwerte gegeben durch:

Da die Wellenfunktionen gerade sind, gilt:

Außerdem gilt für einen gebundenen Zustand immer:

Der quadratische Mittelwert des Impulses ist:

Während der Position:

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Übung 13

Ein monochromatischer Strahl von Teilchen der Masse m bewegt sich bei Vorhandensein eines Potentials entlang der x-Achse:

Bestimmen Sie, für welchen Wert von E der übertragene Fluss gleich dem reflektierten Fluss ist.

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Für einen solchen Strahl kann die Wellenfunktion geschrieben werden als:

Wo ist es:

Wir müssen die Bedingungen der Stetigkeit bei 0 für die Wellenfunktion und der Diskontinuität ihrer Ableitung (aufgrund des Vorhandenseins des Dirac-Deltas im Potential) auferlegen.

Wir haben:

Und dann:

Damit das Quadrat der Koeffizienten gleich ist, muss es sein:

Oder:

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Übung 14

Lösen Sie die Schrödinger-Gleichung nach einem Potential auf:

Eigenfunktionen und Eigenwerte berechnen.

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Da das Potential immer positiv ist, werden die Eigenwerte von H positiv sein.

Ort:

Die Eigenfunktionen sind:

Für die Stetigkeitsbedingungen der Eigenfunktionen und Diskontinuität ihrer Ableitungen:

Oder:

Daraus folgt, dass jeder positive Wert von E ein Eigenwert des Hamiltonoperators ist.

Durch Platzierung:

Wir haben:

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Übung 15

Der Zustand eines Teilchens der Masse m wird durch die Wellenfunktion beschrieben:

Unter Verwendung der Schrödinger-Gleichung finden Sie das Potential V(x) und die Energie E, für die diese Wellenfunktion eine Eigenfunktion ist.

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Setzen wir die Wellenfunktion in die Schrödinger-Gleichung ein, erhalten wir:

Vorausgesetzt, dass:

Wir haben:

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Übung 16

Betrachten Sie den potenziellen Schritt in 3 Dimensionen.

Leiten Sie die Reflexions- und Brechungsgesetze für eine schräg einfallende ebene Welle her und bestimmen Sie die Bedingungen für Totalreflexion.

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In kartesischen Koordinaten ist der Hamiltonoperator:

Für die Trennbarkeit gilt:

Nachdem man die Einfallsrichtung in die xz-Ebene gelegt hat, ist die Energiekomponente in y null.

Die Eigenfunktion wird sein:

Ort:

Wir haben:

Mit:

Durch Auferlegen der Stetigkeitsbedingungen bei x=0 für die Wellenfunktion und ihre Ableitung erhalten wir die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten: